Functions (Chapter 1, Form 4) - Part 3

Dalam 'Part 2', kita telah mempelajari cara mengenal dan MENCARI samada 'object ataupun image. Dalam part ini pula, pelajar akan ditunjukkan beberapa contoh soalan yang berkaitan dengan object dan image berserta penjelasan. Antaranya ialah :

(a) Soalan yang diberi dua atau lebih function yang sama, tetapi berbeza object dan image antara function2 itu. Contohnya :

( Klik pada gambar untuk pembesaran )

(b) Soalan dimana object dipetakan keatas dirinya sendiri oleh function.

- Pemetaan (Mapping) dalam additional mathematics bermaksud memetakan object keatas image. Contohnya :

f (x) = 2x + 5

Cara bacaan :
function f maps x to '2x + 5'.
[ fungsi f memetakan x keatas '2x + 5'. ]

Jadi, apabila disebut pemetaan ke atas diri sendiri, bermaksud object = image. Iaitu :

Contoh soalan :

( Klik pada gambar untuk pembesaran )

***Kita boleh memastikan bilangan jawapan akhir melalui soalan. Di sini, soalan meminta pelajar mencari objects. Apabila object ini di'plural'kan dengan 's', maksudnya, jawapan akhir mesti lebih dari satu. Begitulah sebaliknya.



(c) Soalan yang meminta untuk mencari nilai 'x' atau 'unknown' yang lain jika function itu 'undefined'.

Apa itu undefined ?
- Undefined @ dalam bahasa melayu ialah tidak tertakrif bermaksud sesuatu pengiraan yang tidak boleh diselesaikan sama ada dengan pengiraan manual ataupun menggunakan kalkulator.

Apabila soalan jenis ini ditanya, pelajar bolehah menggunakan formula :

DENOMINATOR = 0

Apa itu denominator ?
- Denominator dalam bahasa melayu ialah 'penyebut' @ 'angka pembawah pecahan'.
- Lawannya ialah 'Numerator'.


Contoh soalan :

( Klik pada gambar untuk pembesaran )

Persoalannya, kenapa denominator harus sama dengan 'kosong'? Apa sebabnya? Persoalan ini insyaALLAH akan dijawab kemudian hari. Harap bersabar.




(d) Soalan yang disertakan gambarajah sebagai panduan dan meminta pelajar untuk mencari nilai 'unknown'.

( Klik pada gambar untuk pembesaran )

Daripada soalan jenis (d) ini, pelbagai soalan anak pula yang boleh disoal. (sila rujuk kepada soalan latihan dibawah). Soalan ini telah ditanya dalam SPM 2006.

Jadi berwaspadalah dan mahirkanlah diri pelajar dengan contoh-contoh soalan seumpama ini. Kerana soalan berangkai memerlukan keprihatinan dan ketelitian yang lebih kuat.

Sekarang saya akan sertakan soalan latihan bagi subtopik 2, function ini.
"Untuk latihan, sila klik di sini"

Kita akan menyambung perbincangan yang seterusnya, Composite Function pada post yang akan datang. InsyaALLAH. Segala kelewatan harap dimaaf. Moga2 usaha ini diberkati oleh ALLAH s.w.t.

From,
Math Thinker.

Functions (Chapter 1, Form4) - Part 2

...Jawapan kepada soalan2 contoh dalam PART 1....

Bertemu lagi dalam bahagian yg kedua. Disebabkan ada sesuatu yg tidak dapat dielakkan, sedikit kelewatan telah berlaku. Harap maaf.

Berbalik kepada topik kita, post pada kali ini akan menyentuh subtopik yang kedua, yaitu Function.

FUNCTIONS (Fungsi)

Subtopik ini memainkan peranan yg paling PENTING dalam pemahaman topik function ini. Memahami subtopik ini dengan jelas dan mahir adalah WAJIB jika ingin menguasai keseluruhan topik ini. Pembelajaran yg berkesan ialah pembelajaran masa panjang. Jadi, ambillah masa yg sedikit lama untuk memahami subtopik ini dengan kefahaman yg MANTAP.

Pertama sekali, pelajar haruslah tahu kedudukan 'object' dan 'image' dengan betul. Lihat ini:

Cara bacaan :
- yg pertama : square of 2 is 4. 2 ialah 'object'. 4 ialah 'image'.
- yg kedua : square of 4 is 16. 4 ialah 'object'. 16 ialah 'image'.

Jikalau kita masukkan 'unknown', ia akan jadi seperti ini,

Betul tak ?

Sekarang kita akan letakkan 'object' dan 'image' ini dibawah satu 'function' yaitu f.

'Function' boleh ditulis dalam 2 bentuk, iaitu :
1) f : x -> x^2
2) f (x) = x^2

Tetapi, pada kebiasaannya, dalam pembelajaran ataupun pengiraan, kita akan menulis 'function' dalam bentuk yg kedua..

Apa itu function ?
- function is a special relation where every object in the domain has ONLY one image in the codomain. (Remember! It's not mean that image could only has only one object. Maybe there are 2 or more objects that have same image. CAREFULL!)
[Fungsi ialah satu hunungan yang istimewa dimana setiap objek dalam domain mempunyai HANYA satu sahaja imej dalam kodomain.] (Ingat! Ini tidak bermakna bahawa imej hanya memiliki satu objek. Mungkin disana ada 2 atau lebih objek yang mempunyai imej yang sama. HATI-HATI).
- Jadi kita boleh katakan bahawa function hanya terdiri daripada one-to-one relation dan many-to-one relation sahaja.


OK, sekarang kita akan tengok persamaan antara "arrow diagram" dengan bentuk function "f(x) = x^2".

Jelas ?

Kaitan Antara OBJECT(S) dan IMAGE(S)

"f ( x ) = x + 2"

Jadi object di sini ialah ' x ' dan image ialah ' x + 2 '. Setuju ?
Sebelum pelajar meneruskan penerangan ini, saya mahu pelajar memahami 'Concept of Equation' yang pernah diterangkan dulu. (Sila klik di sini). Konsep Persamaan menjelaskan pengiraan yang sama antara kedua-dua 'tangan'. Apabila tangan Kiri berubah dengan berlaku satu keadaan, automatik tangan Kanan akan turut melakukan perubahan yang sama.

Kembali kepada contoh, apabila unknwon 'x' disebelah tangan Kiri ditukar dengan satu nombor, contohnya '2', secara automatik 'x' disebelah tangan Kanan akan turut ditukar kepada nombor yang sama iaitu '2'. Ingat 'Concept of Equation'! Lihat ini :

Daripada contoh di atas, kita mempunyai object yang baru, iaitu '2' dan imagenya ialah '2+2' atau apabila diselesaikan akan menjadi '4'.

Contoh soalan dan jalan pengiraan,
Katakanlah, berdasarkan contoh ini, f(x) = x+2, disuruh pelajar untuk mencari image jika objectnya ialah 5. Apa yang perlu dilakukan? Gantikan sahaja object (yakni x) dengan nombor '5' kerana object yang disebut ialah '5'.

Jadi, imagenya ialah '5+2' ataupun '7'(apabila diselesaikan dengan pengiraan).

Bagaimana pula jika soalan memberi nilai image dan meminta object? Sama sahaja jalan kerjanya. Yang penting adalah, pelajar haruslah mahir dalam 'Konsep Persamaan'. Contohnya,

"f ( x ) = x + 2"

It's it given that the image is 5. Find the object.

Daripada jawapan di atas, dapatlah kita ketahui bahawa objectnya ialah '3' apabila image ialah '5'.

Perbincangan mengenai subtopik ini berserta dengan soalan2 contoh akan disambung pada 'post' yang akan datang...insyaALLAH...
(Segala permasalahan dan pertanyaan, bolehlah ditanya di Comment. Moga2 pembaca dapat memahaminya dengan jelas. Semoga ALLAH merahmati atas usaha ini.)

Harap maklum,
Math Thinker.

FUNCTIONS (Chapter 1,Form4) - Part 1

Bertemu kembali dalam blog "Math Thinker".
Sekarang saya akan cuba untuk berkongsi sedikit sebanyak ilmu tentang tajuk yang telah dinyatakan. Mungkin ia ada sedikit persamaan dengan buku rujukan yang kalian gunakan. Kerana saya menjadikan buku rujukan sebagai panduan untuk saya blogging. Harap-harap kalian dapat memanfaatkan sepenuhnya blog ini!

Bahagian-bahagian (subtopik) yg perlu diambil perhatian dalam tajuk ini:-
1. Relations (Asas utama bab 'function', memahirkan diri dalam subtopik ini adalah digalakkan. Walaupun jarang ditanya dalam peperiksaan. Biasanya memberi markah maksima 3 dalam peperiksaan SPM sebenar. Ataupun langsung tidak keluar. Tapi mengetahui asas adalah AMAT berguna pada masa akan datang)
2. Functions (Juga adalah asas yang penting. Meninggalkan subtopik ini adalah satu kesalahan yang amat besar. Pelajarilah ia perlahan-lahan, sehingga kamu betul2 mahir dan pakar dalam ini. Membuat banyak latihan dalam subtopik ini AMAT penting dan berguna untuk menolong kamu dalam subtopik yang seterusnya. MESTI mahir!)
3. Composite Functions (Gabungan antara 2 'function'. Jika kamu masih belum mahir subtopik yang kedua, mungkin kamu akan bermasalah disini dan seterusnya. Jika mahir di subtopik 2, kamu akan merasakan subtopik ini AMATlah mudah.InsyaALLAH)
4. Inverse Functions (Menyongsangkan 'function' yg diberi. Kemahiran untuk meng'inverse'kan ada pelbagai kaedah. Akan dibincangkan kemudian.)


Kita mulakan subtopik yang pertama...

RELATIONS (Hubungan)

[A] - Representing a relation (Persembahan Hubungan) :-

'Relations' boleh dipersembahan dalam 3 cara, yaitu:


Dalam keadaan biasa, kita selalunya akan guna 'arrow diagram' untuk mempersembahkan 'relation' yang akan kita lakukan. Adapun yang 2 lagi itu, kita jarang dapati. Tetapi tidak harus ditinggalkan.

Walaubagaimanapun, dalam SPM, soalan boleh menanya untuk menukarkan dari satu bentuk ke bentuk yang lain dan juga menentukan jenis persembahan yang ditunjukkan. Ia biasanya keluar dalam kertas 1. markah maksimum adalah 2 bagi soalan jenis ini. Tapi, ia JARANG keluar dalam SPM.

[B] - Important Terms in this Subtopic (Istilah2 Penting dalm Subtopik ini) :-

Domain = The first set (A).
[Set pertama (A)]
Codomain = The second set (B).
[Set kedua (B)]
Object(s) = The each element of the domain.
[Setiap elemen dalam domain]
Image(s) = The element in the codomain that has been mapped.
[Elemen dalam Kodomain yang telah dipetakan]
Range = The subset of the codomain that contains all the images that have been mapped.
[Subset milik Kodomain yg mengandungi semua imej yg telah dipetakan]

Mengenal dan mengetahui istilah2 ini adalah AMAT penting. Kerana ia akan membantu pelajar untuk memahami kehendak soalan. (Soalan contoh sila lihat pada akhir 'post' ini.)

Walaupun begitu, soalan jenis ini juga kurang ditanya. Pernah ditanya dalam SPM 03[2markah] dan SPM 04[1markah]. (maaf, kerana saya tiada rujukan SPM 07 dan SPM 08, insyaALLAH saya akan 'update'kan soalan yg brkaitan jika wujud dalam SPM 2 tahun ini.)

[C] - Types of Relations (Jenis-jenis Hubungan) :-

Ada 4 semuanya jenis hubungan :


Walaubagaimana pun, mengikut pemerhatian saya, penumpuan hendaklah lebih kepada 'one-to-one relation' dan 'many-to-one relation'. Tapi yg dua lagi tidak harus ditinggalkan.

Biasanya, soalan mengenai ini akan keluar dalam kertas 1 sahaja. Markah maksimum yg boleh diberikan juga adalah 2 markah. Pernah keluar dalam SPM 04 kertas 1[1 markah].

Sekarang adalah contoh2 soalan yang berkaitan dgn subtopik ini :

(SPM 03)

(SPM 04)

(SPM 06)(Contoh2 lain)

(Klik pada gambar untuk pembesaran)

Jawapan kepada soalan2 berikut insyaALLAH akan disiarkan pada 'post' akan datang. Sila jawab untuk mengetahui samada pembaca sudah pun dapat memahaminya secara jelas atau sekadar mengangguk sahaja. Segala masalah dan persoalan yang ingin ditanya bolehlah ditanya dalam komen.

Jika tiada kesulitan, 'post' yg seterusnya akan dimuatkan pada Ahad minggu depan. InsyaALLAH.

Semua yg dipersembahkan adalah ilham yg diberikan oleh ALLAH. Semoga usaha ini diberkati.
Akhir kata, "SALAM EIDUL ADHA"

Teacher,
Math Thinker.

"Concept of Equation" (Part 2)

Bertemu lagi kita. Pertama sekali saya ingin meminta ribuan keampunan jika blog ini membuat kalian menunggu lama untuk di'update'kan. Semuanya berlaku kerana perkara2 yg tidak dapat dielakkan dan yang dapat dielakkan tetapi sengaja tidak mahu dielakkan. :)

Apa2 pun, saya mengucapkan terima kasih kepada yang setia menunggu 'post' yang ini. Dan tidak lupa juga kepada yang cuba untuk merungkai persoalan yang telah ditimbulkan dalam 'Part 1'. Walaupun begitu, ada segelintir mereka yg menganggap soalan ini AMAT mudah dan tidak perlu diambil endah. Jadi saya jawab :"YA!". Ini memang mudah. Sebab itulah saya cakap ianya adalah CONTOH. Ini untuk memahamkan pembaca dan memantapkan kefahaman kalian. Kalau diberi soalan yang susah, pembaca akan mengambil masa dan sukar untuk memahami. Contohnya:

Bagaimana nak jelaskan pergerakan ini secara detail dan agar mudah difahami oleh pelajar2.

Kembali kepada kepada topik asal. Sekarang kita akan melihat jawapan kepada permasalah yang lalu untuk penjelasan :
Sign(Tanda) positif (+) dan negatif (-) diubah sebenarnya disebabkan berlakunya "Konsep Persamaan"(Concept of Equation). Apa itu "Konsep Persamaan"? Konsep ini berlaku dimana kedua-dua Expression(yakni Right Hand Side dan Left Hand Side) melakukan proses yang sama. Apabila di tangan kanan melakukan operasi campur (+), secara AUTOMATIK tangan sebelah kiri akan melakukan perkara yang sama, yakni operasi campur (+). Dan begitulah sebaliknya. Cuba perhatikan ini,

(Sila tekan gambar untuk pembesaran)

Jadi jelaslah bahawa sebenarnya (+1) itu bukannya dipindah dari Tangan Kiri ke Tangan Kanan dan diubah tanda positif ke negatif. Tetapi, ia merupakan satu pemansuhan/penghapusan nombor (yakni +1) untuk mencari nilai x (the unknown).

Begitulah juga keadaannya dengan operasi darab dan bahagi. Ia bukannya dipindahkan, tetapi telah berlaku proses 'Konsep Persamaan' dimana Tangan Kanan akan mengikut operasi darab atau bahagi yang dilakukan oleh Tangan Kiri. Begitulah juga sebaliknya. Lihat ini,

(Sila tekan gambar untuk pembesaran)

Daripada contoh ini, dapatlah kita ketahui bahawa sebenarnya 'perpindahan' yang dilakukan selama ini sebenarnya adalah satu operasi yang dilakukan serentak oleh kedua-dua expressions.

Mari kita cuba menjawab contoh di atas :

Jelas? Daripada pengiraan di atas, kita dapat melihat bahawa pengiraan di Tangan Kiri dan Kanan adalah sama. Yakni (- 10), (darab 2) dan (bahagi 5). Daripada ketiga-tiga operasi tersebut, akan tertinggal 'x' di sebelah Tangan Kiri. Oleh itu, dapatlah kita mencari nilai x (the unknown).

Harap kalian yang membacanya dapat memerhati dan memahami gerak kerja "Konsep Persamaan" ini dengan baik dan jelas. Moga2 apa yang dijelaskan dan diterangkan dapat difahami oleh pembaca sekalian.
( Kepada pembaca yang mempunyai soalan yang ini ditanya, bolehlah menanya di komen. Semoga kalian enjoy membaca blog ini)

Pada post yang akan datang, InsyaAllah saya akan bincangkan tentang bab 1 Tingkatan 4 Matapelajaran AddMath. Tajuk Function.

Sekian.

Explainer,
Math Thinker.

Start a simple one : "Concept of Equation" (Part 1)

Sepertimana yang kita pelajari ketika "form 1" disekolah, kita didedahkan dengan satu ilmu baru dalam disiplin "Mathematics" ini, iaitu cara-cara untuk mencari nilai sesuatu "unknown". Sebagai contoh :
X + 1 = 3

Ini adalah contoh yang ringkas. Sebagaimana yang diajar, untuk mencari nilai anu/"unknown" iaitu 'X', kita akan menggunakan kaedah pemindahan digit. Ini bermaksud, '+1' akan dipindahkan dari "Left Hand Side" kepada "Right Hand Side", sepertimana berikut :

Seperti yang diajar di sekolah, '+1' ini apabila ia dipindahkan, akan berlaku perubahan "sign" padanya, yakni dari tanda positif (+) kepada tanda negatif (-). Bagi pelajar yang sudah biasa atau telah lama dalam disiplin ilmu "Mathematics", ini adalah perkara biasa.

Persoalannya, tidak pernahkah terlintas di benak fikiran kalian, kenapa tanda (+) berubah menjadi (-) apabila dibawa dari "Left Hand Side" ke "Right Hand Side"? Kenapa kita tidak kekalkan sahaja tanda (+) itu? Kenapa apabila '+1' itu dibawa ke "Right Hand Side", tanda (+) itu dikekalkan sahaja tanpa mengubah "sign" kepada (-). Sepertimana contoh berikut :

Kenapa? Adakah kalian tidak pernah terfikir tentang perkara ini? Kenapa pula apabila melibatkan proses "multiplication" dan "division", tanda (+) atau (-) ini tidak berubah? Contohnya :

Kenapa apabila '+4' dibawa ke sebelah kanan, tanda (+) masih kekal positif(+)? Tetapi, kedudukannya sebagai "cooficient of X" telah berubah menjadi "division of 4"? Kenapa '+4' tidak terus kekal sebagai "cooficient of 8"(pekali)?

Pernahkah kalian yang telah ilmu "Mathematics" ini selama bertahun-tahun lamanya terfikir mengenai hal ini? Kalau ya, cuba ceritakan penyelesaian kepada permasalahan ini. Kalau tidak, kenapa persoalan yang begitu remeh ini anda tidak pernah terfikir? Bagaimana pula dengan soalan "Additional Mathematics" yang digeruni oleh sebahagian besar pelajar? Mampukah anda menyelesaikannya jika soalan semudah ini pun anda tidak dapat selesaikan.

Kalau anda tahu jawapannya, Alhamdulillah. Anda seorang prihatin dan amat peka dengan permasalahan-permasalahan ilmu Matematik. Dan jikalau anda tidak pasti dengan jawapan yang berada di kepala anda atau tidak tahu untuk menjawabnya, dan anda ingin mengetahuinya, sila berSABAR dan tunggu "post" saya yang akan datang. InsyaAllah sama-sama kita berkongsi matlumat.

Caring by, Math Thinker.

Getting Start on The Best Blog of Math

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh...

Meet all of you. I'm, using the name of "Math Thinker", trying to make a blog about Mathematics. Here you will be able to take some tips about Math. Maybe the tips look simple. But, most people or students are lack of it. When I ask them about "The Basic of Math", about 95% of them are don't know. So here I will try my best to share with all of you especially to my friends a little about "The Basic of Math". My hope, you will get benefits as many as you can from my blog.

[ Bertemu dengan sekalian. Saya, yang menggunakan gelaran "Math Thinker"(Pemikir Math), sedang mencuba untuk membina satu blog tentang matematik. Disini kamu akan dapat mengambil beberapa tip yang berkaitan dengan Matematik. Mungkin tip-tip ini kelihatan remeh dan simple. Tetapi, ramai orang atau pelajar yang tidak mengetahuinya. Apabila saya menanyakan mereka tentang "The Basic of Math"(Asas Matematik), hampir 95% dari mereka tidak tahu. Jadi di sini saya akan cuba dengan sebaik mungkin untuk berkongsi dengan kamu sekalian terutamanya kepada kawan-kawan saya sedikit sebanyak tentang "The Basic of Math"(Asas Math). Harapan saya, kamu akan mendapat faedah sebanyak yang mungkin dari blog saya ini. ]

Honoured from,
- Math.Thinker -